题目内容

4．已知：在△ABC中，点D在BC边上，过点C作一直线与边AB及AD分别交于点F、E．
（1）如图，当$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$时，求证：$\frac{AE}{ED}$=$\frac{3AF}{FB}$；
（2）如图，当$\frac{BD}{DC}$=$\frac{m}{n}$时，猜想：$\frac{AE}{ED}$与$\frac{AF}{FB}$之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．

分析 （1）如图1，过D作DG∥FC交AB于G，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{BG}{FG}=\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，求出$FG=\frac{2}{3}$FB，等量代换得到结论；
（2）如图2，过D作DG∥FC交AB于G，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{BG}{FG}=\frac{BD}{CD}=\frac{m}{n}$，证得FG=$\frac{n}{m+n}•FB$，由等量代换得到结论．

解答 解：（1）如图1，过D作DG∥FC交AB于G，
∴$\frac{BG}{FG}=\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$FG=\frac{2}{3}$FB，
∵EF∥DG
∴$\frac{AE}{ED}=\frac{AF}{FG}=\frac{AF}{\frac{2}{3}FB}=\frac{3AF}{2FB}$；

（2）猜想$\frac{AE}{ED}=\frac{（m+n）AF}{n•FB}$，
证明：如图2，过D作DG∥FC交AB于G，
∴$\frac{BG}{FG}=\frac{BD}{CD}=\frac{m}{n}$，
∴FG=$\frac{n}{m+n}•FB$，
∴$\frac{AE}{ED}=\frac{AF}{FG}=\frac{AF}{\frac{n}{m+n}•FB}$=$\frac{（m+n）•AF}{n•FB}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例，正确的作出辅助线是解题的关键．

练习册系列答案
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9．在正方形AOBC中，OB=OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点，过F点的一次函数y=-x+k的图象与AC边交于点E．
（1）在点F的运动过程中，∠EOF的取值范围是0°≤∠EOF≤90°；
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①若∠APM=90°，求出P点的坐标；
②在①的条件下，若P点不与O、B重合，连接AQ，探究正方形AOBC内有哪些三角形相似，直接写出结论．
16．平行四边形一边长10cm，那么它的两条对角线的长可能是（　　）
A．10cm和8cmB．13cm和7cmC．9cm和9cmD．9cm和12cm
13．已知点P（a，b），且ab＞0，点P到x轴的距离为3个单位，到y轴的距离为5个单位，则点P的坐标为（5，3）或（-5，-3）．
14．设p、q是两个数，规定p*q=p2+（p-q）×2．求：30*（5*3）．

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