在正方形AOBC中.OB=OA=4.分别以OB.OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个动点.过F点的一次函数y=-x+k的图象与AC边交于点E．(1)在点F的运动过程中.∠EOF的取值范围是0°≤∠EOF≤90°,(2)令五边形AOBFE的面积为S.求出S与k的函数关系式.当S取最大值时.求k的值,的条件下.P为线段OB上一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．在正方形AOBC中，OB=OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点，过F点的一次函数y=-x+k的图象与AC边交于点E．
（1）在点F的运动过程中，∠EOF的取值范围是0°≤∠EOF≤90°；
（2）令五边形AOBFE的面积为S，求出S与k的函数关系式，当S取最大值时，求k的值；
（3）在（2）的条件下，P为线段OB上一动点，作∠CBx的角平分线BM交一次图象于M，连接PM交BC于Q．则点M的坐标为（6，2）
①若∠APM=90°，求出P点的坐标；
②在①的条件下，若P点不与O、B重合，连接AQ，探究正方形AOBC内有哪些三角形相似，直接写出结论．

分析（1）易知直线y=-x+k与x轴成45°角，从而有∠CEF=∠CFE=45°，则有CE=CF．先考虑点F运动到点C、点B对应的∠EOF的值，就可求出∠EOF的取值范围；
（2）用k的代数式依次表示BF、CF、S_△CEF、S，然后根据S与k的函数关系式，就可求出S取最大值时k的值；
（3）如图2①，过点M作MH⊥BD于H．易证MB=MD，∠BMD=90°，根据等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BH=HD=MH=$\frac{1}{2}$BD=2，求出OH，即可得到点M的坐标．①如图2①，易证△AOP∽△PHM，根据相似三角形的性质即可求出OP，即可得到点P的坐标；②如图2②，易证△AOP∽△PBQ，则有$\frac{AO}{PB}$=$\frac{AP}{PQ}$．由PB=OP=2可得$\frac{AO}{OP}$=$\frac{AP}{PQ}$．再由∠AOP=∠APQ=90°可得△AOP∽△APQ．

解答解：（1）如图1，易知直线y=-x+k与x轴成45°角，
从而有∠CEF=∠CFE=45°，则有CE=CF．
当点F运动到点C时，∠EOF=0°；
当点F运动到点B时，∠EOF=90°．
故答案为0°≤∠EOF≤90°；

（2）如图1，
当x=4时，y=-4+k，则点F（4，-4+k），
∴BF=-4+k，CF=4-（-4+k）=8-k，
∴S_△ECF=$\frac{1}{2}$CE•CF=$\frac{1}{2}$CF²=$\frac{1}{2}$（8-k）²，
∴S=16-$\frac{1}{2}$（8-k）²，
∴当k=8时，S取到最大值；

（3）如图2①，过点M作MH⊥BD于H．
∵BM平分∠CBD，∴∠MBD=$\frac{1}{2}$∠CBD=45°，
∴∠MBD=∠MDB=∠BCD=45°，
∴BD=BC=4，MB=MD，∠BMD=90°，
∵MH⊥BD，∴BH=HD=MH=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴OH=4+2=6，∴点M的坐标为（6，2）．
故答案为（6，2）；
①如图2①，
∵∠APM=90°，∠AOP=90°，
∴∠APO+∠HPM=180°-90°=90°，∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠HPM．
又∵∠AOP=∠PHM=90°，
∴△AOP∽△PHM，
∴$\frac{AO}{PH}$=$\frac{OP}{HM}$，
∴$\frac{4}{6-OP}$=$\frac{OP}{2}$，
解得OP=2或OP=4，
∴点P的坐标为（2，0）或（4，0）；
②如图2②，在正方形AOBC内，△AOP∽△PBQ∽△APQ．
理由：∵P点不与O、B重合，∴OP=2，PB=4-2=2．
由①得∠OAP=∠BPQ．
又∵∠AOP=∠PBQ=90°，
∴△AOP∽△PBQ，
∴$\frac{AO}{PB}$=$\frac{AP}{PQ}$．
∵PB=OP=2，
∴$\frac{AO}{OP}$=$\frac{AP}{PQ}$．
∵∠AOP=∠APQ=90°，
∴△AOP∽△APQ，
∴△AOP∽△PBQ∽△APQ．