Question

18．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，D为△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE=∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连接BD，CE，GF，GH．
（1）求证：GH=GF；
（2）试说明∠FGH与∠BAC互补．

Answer 1

分析 （1）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），进而利用三角形中位线定理得出GH=GF；
（2）利用全等三角形的性质结合平行线的性质得出∠FGH=∠DGF+∠HGD进而得出答案．

解答 证明：（1）∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，
∴HG∥CE，GF∥BD，且GH=$\frac{1}{2}$CE，GF=$\frac{1}{2}$BD，
∴GH=GF；

（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵HG∥CE，GF∥BD，
∴∠HGD=∠ECD，∠GFC=∠DBC，
∴∠HGD=∠ACD+∠ECA=∠ACD+∠ABD，
∠DGF=∠GFC+∠GCF=∠DBC+∠GCF，
∴∠FGH=∠DGF+∠HGD
=∠DBC+∠GCF+∠ACD+∠ABD
=∠ABC+∠ACB
=180°-∠BAC，
∴∠FGH与∠BAC互补．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，正确得出△ABD≌△ACE是解题关键．