Question

16．已知关于x的一元二次方程x²-（m-3）x-m²=0的两个实数根为x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|-2，求m的值．

Answer 1

分析 利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，判断出两根之积小于0，得到两根异号，分两种情况考虑：若x₁＞0，x₂＜0，利用绝对值的代数意义化简已知的等式，将表示出的两根之和代入，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值；若x₁＜0，x₂＞0，同理求出m的值．

解答 解：∵关于x的一元二次方程x²-（m-3）x-m²=0的两个实数根为x₁，x₂，
∴x₁•x₂=-m²≤0，x₁+x₂=m-3，
∴x₁，x₂异号，
又|x₁|=|x₂|-2，即|x₁|-|x₂|=-2，
若x₁＞0，x₂＜0，上式化简得：x₁+x₂=-2，
∴m-3=-2，即m=1；
若x₁＜0，x₂＞0，上式化简得：-（x₁+x₂）=-2，
∴x₁+x₂=m-3=2，即m=5．

点评 此题考查了一元二次方程根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．