Question

15．若α，β是方程x²+px+8=0的两个不同实数根，且|α|＞|β|，则下面的四个结论中不一定成立的是（　　）

• A． |α|＞2且|β|＞2
• B． |α|+|β|＞4$\sqrt{2}$
• C． |α|＞$\frac{5}{2}$或|β|＞$\frac{5}{2}$
• D． |α|＞2且|β|＜2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由根与系数的关系得：αβ=8，
A：由特殊值法不一定成立，
B：由均值不等式，|α|+|β|＞=2$\sqrt{αβ}$=4$\sqrt{2}$，一定成立，
C：反证法，否则会有|α||β|＜$\frac{5}{2}×\frac{5}{2}$=$\frac{25}{4}$＜8，故一定成立，
D：因为|α|＞|β|，故8=|ab|＜|a²|，得：|a|＞2$\sqrt{2}$； 同样8=|ab|＞|b²|，得|b|＜2$\sqrt{2}$，一定成立．

解答 解：由根与系数的关系得：αβ=8，
A：不一定成立，比如取α=8，β=1．
B：一定成立，由均值不等式，|α|+|β|＞=2$\sqrt{αβ}$=4$\sqrt{2}$，
C：一定成立，否则会有|α||β|＜$\frac{5}{2}×\frac{5}{2}$=$\frac{25}{4}$＜8，
D：一定成立，因为α|＞|β|，故8=|αβ|＜|α²|，得：|α|＞2$\sqrt{2}$； 同样8=|αβ|＞|β²|，得|β|＜2$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查了根与系数的关系，不等式，灵活掌握不等式是解决问题的关键．