Question

13．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=45°．因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直后的公路AB的长；
（2）问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米？（精确到0.1）
（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，$\sqrt{2}$≈1.41）

Answer 1

分析 （1）过点C作CD⊥AB与D，根据AC=10千米，∠CAB=25°，求出CD、AD，根据∠CBA=45°，求出BD、BC，最后根据AB=AD+BD列式计算即可，
（2）根据AC=10千米，BC=5.9千米，即可得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程．

解答 解：（1）过点C作CD⊥AB与D，
∵AC=10千米，∠CAB=25°，
∴CD=sin∠CAB•AC=sin25°×10≈0.42×10=4.2（千米），
AD=cos∠CAB•AC=cos∠25°×10≈0.91×10=9.1（千米），
∵∠CBA=45°，
∴BD=CD=4.2（千米），
BC=$\frac{CD}{sin∠CBA}$=$\frac{4.2}{sin45°}$≈5.9（千米），
∴AB=AD+BD=9.1+4.2=13.3（千米），
（2）∵AC=10千米，BC=5.9千米，
∴公路改直后该段路程比原来缩短10+5.9-13.3=2.6千米．

点评 此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是三角函数、特殊角的三角函数值，关键是作出辅助线，构造直角三角形，求出有关线段的长．