Question

4．如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，过F作FH⊥BC，垂足为H．若AB=8，则FH的长为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先连接BE，由BC为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠BEC=90°，然后由三线合一，求得AE的长，继而由EF⊥AB，求得AF的长，又由FH⊥BC，求得FH的长．

解答 解：连接BE，
∵BC为直径，
∴∠BEC=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AE=EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵EF⊥AB，
∴AF=AE•cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2，
∴BF=AB-AF=6，
∵FH⊥BC，
∴FH=BF•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了圆周角定理以及三角函数的定义．注意掌握辅助线的作法．