Question

13．如图，已知AB是⊙O的弦，OA=4，∠A=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接BD．
（1）求弦AB的长；
（2）当∠D=15°时，求∠AOD的度数；
（3）当BC的长度为多少时，以B、C、D为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，过点O作OE⊥AB于点E，然后根据题目中的条件可以找出求弦AB需要的条件，即可解答本题；
（2）根据三角形的外角等于和它不相邻的内角的和，可以求得∠AOD的度数；
（3）根据题目中的信息，要使△DBC与△AOC相似，通过图形和已知条件，找出三角形相似的条件即可求得BC的长度，本题得以解决．

解答 解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，则AE=BE=$\frac{1}{2}AB$，∠OEB=90°，如图所示，
∵OA=4，∠A=30°，
∴AE=OA•cos∠A=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$；
（2）连接OB，
∵OA=OB，OB=OD，
∴∠ABO=∠A，∠DBO=∠D，
∴∠DBA=∠ABO+∠DBO=∠A+∠D，
又∵∠A=30°，∠D=15°，
∴∠DBA=45°，
∴∠AOD=2∠DBA=90°；
（3）∵∠ACO=∠DBC+∠D，
∴∠ACO＞∠DBC，∠ACO＞∠D，
∴要使△DBC与△AOC相似，只能∠DCB=∠ACO=90°，
∵∠A=30°，此时∠AOC=60°，∠AOD=120°，
∴∠DBC=60°，
∵∠DBC=∠AOC，
∴△DBC∽△AOC，
∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，
∴BC=$\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$，
∴当BC的长度为$2\sqrt{3}$时，以B、C、D为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似．

点评 本题考查圆的综合题、三角形外角与内角的关系、三角形相似，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．