Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3cm，BC=4cm，∠B=∠C=60°，点P从点A开始沿AB边向点B运动，Q从C沿CD向D运动，过点Q作QE∥AB交BC于点E，连接AQ，PE，若点P，Q同时出发且均以1cm/s的速度运动．
（1）求证：四边形APEQ是平行四边形；
（2）点P运动几秒，四边形APEQ是矩形；
（3）当点P运动到何处时，四边形APEQ是菱形；
（4）四边形APEQ可能是正方形吗，为什么？

Answer 1

考点：正方形的判定,平行四边形的判定,菱形的判定,矩形的判定

专题：动点型

分析：（1）证明AP=EQ即可得到结论；
（2）若四边形APEQ是矩形，则△BPE为直角三角形，且∠B=∠C=60°，据此可以求得点P的运动时间．
（3）若四边形APEQ是菱形，可以借用余弦定理来解决问题；
（4）四边形APEQ不能是正方形．由（2）知Rt△BPE中，∠B=60°，∠BEP=30°，可以得到答案．

解答：解：（1）∵QE∥AB，
∴∠QEC=∠B=∠C=60°，即△QEC是等边三角形，
∴QE=EC=CQ=AP，四边形APEQ是平行四边形．
 （2）当四边形APEQ是矩形时，∠PAQ=BPE=90°，
 在Rt△BPE中，
∵∠B=60°，
∴∠BEP=30°，
∴BP=

1

2

BE=

1

2

（BC-CE）=

1

2

（4-CE），
BP=AB-AP=3-AP，AP=CE=2，
即P运动2秒，四边形APEQ是矩形．
（3）当四边形APEQ是菱形时，
设AP=PE=EQ=QA=x，PB=3-x，BE=4-x
在△PBE中，应用余弦定理得：PE²=PB²+BE²-2PB×BEcos∠B
x²=（3-x）²+（4-x）²-2（3-x）×（4-x）×cos60°，解得x=

13

7

，
（4）四边形APEQ不能是正方形．由（2）知Rt△BPE中，∠B=60°，∠BEP=30°，
必有PE=

3

2

BE，但EQ=EC=4-BE，从而PE≠EQ．

点评：本题考查了四边形的判定与证明方法，以及特殊四边形的判定与证明的方法，解题的关键在于熟练记忆特殊四边形的性质定义．