Question

16．如图，在平面直角坐标系中，点C（0，4），射线CE∥x轴，直线y=-$\frac{1}{2}$x+b交线段OC于点B，交x轴于点A，D是射线CE上一点．若存在点D，使得△ABD恰为等腰直角三角形，则b的值为$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$或2．

Answer 1

分析 分三种情况讨论：
①当∠ABD=90°时，证得△DBC≌△BAO，得出BC=OA，即4-b=2b，求得b=$\frac{4}{3}$；
②当∠ADB=90°时，作AF⊥CE于F，同理证得△BDC≌△DAF，得出BC=DF，即2b-4=4-b，求得b=$\frac{8}{3}$；
③当∠DAB=90°时，作DF⊥OA于F，同理证得△AOB≌△DFA，得出OA=DF，即2b=4，解得b=2．

解答 解：①当∠ABD=90°时，如图1，则∠DBC+∠ABO=90°，
∴∠DBC=∠BAO，
由直线y=-$\frac{1}{2}$x+b交线段OC于点B，交x轴于点A可知OB=b，OA=2b，
∵点C（0，4），
∴OC=4，
∴BC=4-b，
在△DBC和△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠BAO}\\{∠DCB=∠AOB}\\{BD=AB}\end{array}\right.$
∴△DBC≌△BAO（AAS），
∴BC=OA，
即4-b=2b，
∴b=$\frac{4}{3}$；
②当∠ADB=90°时，如图2，
作AF⊥CE于F，
同理证得△BDC≌△DAF，
∴CD=AF=4，BC=DF，
∵OB=b，OA=2b，
∴BC=DF=2b-4，
∵BC=4-b，
∴2b-4=4-b，
∴b=$\frac{8}{3}$；
③当∠DAB=90°时，如图3，
作DF⊥OA于F，
同理证得△AOB≌△DFA，
∴OA=DF，
∴2b=4，
∴b=2；
综上，b的值为$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$或2．
故答案为$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$或2．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助性构建求得三角形上解题的关键．