Question

7．如图所示，半径均为1个单位长度的半圆O₁、O₂、O₃…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发．沿这条曲线向右运动，速度为每秒$\frac{π}{6}$个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（$\frac{1336+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根据圆的周长即点P运动的速度得出点P的运动周期为12s，由2015÷12═167…11知第2015秒时点P的坐标与第11秒时点P的坐标相同，再根据三角函数的定义求得点P₁₁的坐标，从而得出答案．

解答 解：根据题意知，半圆的周长为π，
点P运动两个半圆所需时间为$\frac{2π}{\frac{π}{6}}$=12（s），
∴点P的运动周期为12s，
∵2015÷12═167…11，
∴第2015秒时点P的坐标与第11秒时点P的坐标相同，
如图，

过点P₁₁作P₁₁Q⊥x轴于点Q，
由题意知O₂P₁₁=1，∠P₁₁O₂Q=30°，
∴O₂Q=O₂P₁₁sin∠P₁₁O₂Q=$\frac{1}{2}$，O₂Q=O₂P₁₁cos∠P₁₁O₂Q=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则第2015秒时，点P的坐标是（167×4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），即（$\frac{1336+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
故答案为：（$\frac{1336+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查点的坐标变化规律，根据圆的周长即点P运动的速度得出点P的运动周期为12s，从而得出第2015秒时点P的坐标与第11秒时点P的坐标相同是解题的关键．