Question

11．已知，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线或外角平分线，交BC边所在的直线于点D，过点C作CM⊥AD于点M，已知AB=AD．
（1）当AD为△ABC的角平分线（如图1），求证：AC-AB=2DM；
（2）当AD为△ABC的角平分线（如图2，3），其它条件不变，请分别写出线段AC、AB、DM之间的数量关系；
（3）当AD为△ABC的角平分线（如图3），请证明线段AC、AB、DM之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长CM、AB交于点G，作MN∥AG交BC于点N．只要证明AG=AC、DM=MN，MN是△BCG的中位线即可解决问题；
（2）如图2，结论：AB+AC=2DM．如图3，结论：AB+AC=2DM．延长CM、BA交于点G，作MN∥AB交BC于点N，即可得出结论；
（3）如图3，延长CM、BA交于点G，作MN∥AB交BC于点N，根据三角形中位线定理进行证明即可．

解答 解：（1）证明：如图1，延长CM、AB交于点G，作MN∥AG交BC于点N．
∵AM⊥CG，
∴∠AMG=∠AMC=90°，
∴∠G+∠GAM=90°，∠ACM+∠CAM=90°，
∵∠GAM=∠CAM，
∴∠G=∠ACM，
∴AC=AG，
∵AM⊥CG，
∴GM=MC，
∵MN∥BG，
∴BN=NC，
∴MN=$\frac{1}{2}$BG，即BG=2MN，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABD=∠MND，∠ADB=∠MDN，
∴∠MND=∠MDN，
∴DM=MN，
∴BG=2DM．
∵AC-AB=AG+AB=BG，
∴AC-AB=2DM．

（2）图2中，线段AC、AB、DM之间的数量关系为：AB+AC=2DM．
图3中，线段AC、AB、DM之间的数量关系为：AB+AC=2DM．
理由：如图2，延长CM、BA交于点G，作MN∥AB交BC于点N．
∵AM⊥CG，
∴∠AMG=∠AMC=90°，
∴∠AGM+∠GAM=90°，∠ACM+∠CAM=90°
∵∠GAM=∠CAM，
∴∠AGM=∠ACM，
∴AC=AG，
∵AM⊥CG，
∴GM=MC，
∵MN∥BG，
∴BN=NC，
∴MN=$\frac{1}{2}$BG，即BG=2MN，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D，
∵∠ABD=∠MND，
∴∠MND=∠MDN，
∴DM=MN，
∴BG=2DM．
∵AC+AB=AG+AB=BG，
∴AC+AB=2DM．

（3）如图3，结论为：AB+AC=2DM．
证明：延长CM、BA交于点G，作MN∥AB交BC于点N．
∵AM⊥CG，
∴∠AMG=∠AMC=90°，
∴∠G+∠GAM=90°，∠ACM+∠CAM=90°
∵∠DAB=∠DAP，∠DAB=∠GAM，∠DAP=∠CAM，
∴∠GAM=∠CAM，
∴∠AGM=∠ACM，
∴AC=AG，
∵AM⊥CG，
∴GM=MC，
∵MN∥BG，
∴BN=NC，
∴MN=$\frac{1}{2}$BG，即BG=2MN，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D，
∵∠ABD=∠MND，
∴∠MND=∠MDN，
∴DM=MN，
∴BG=2DM．
∵AC+AB=AG+AB=BG，
∴AC+AB=2DM．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、平行线性质，平行线等分线段定理等知识的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．