Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，在线段AC上有一动点P（P不与C重合），以PC为直径作⊙O交PB于Q点，连AQ，则AQ的最小值为$\frac{\sqrt{73}-3}{2}$．

Answer 1

分析 连接CQ，可得∠PQC=∠BQC=90°，从而知点Q在以BC为直径的⊙O上，继而知当点Q、A、O三点共线时AQ最小，根据勾股定理求得AO的长，即可得线段AQ的最小值．

解答 解：如图，连接CQ，则∠PQC=∠BQC=90°，
∴点Q在以BC为直径的⊙O上，
∵∠ACB=90°，AC=4，AB=5，
∴BC=3，
∴CO=QO=$\frac{3}{2}$，
当点Q、A、O三点共线时，AQ最小，
∵AC=4，
∴AO=$\sqrt{A{C}^{2}+C{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{2}$，
∴AQ=AO-QO=$\frac{\sqrt{73}}{2}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{73}-3}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{73}-3}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定Q点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．