Question

20．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为6．

Answer 1

分析 通过作辅助线，证明△ABF′≌△ADF和△EAF′≌△EAF，求出EF=DF+BE，三角形的周长=三边之和，由三角形的全等，通过等量代换，得出BE+BF′=EF′．

解答 证明：延长CB到F′，使BF′=DF，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABF′=180°-∠ABC=90°=∠D，
∵在△ABF′和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABF′=∠D}\\{BF′=DF}\end{array}\right.$
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′=AF，∠1=∠2，
∴∠EAF′=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-∠EAF=45°=∠EAF，
在△EAF′和△EAF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠EAF′=∠EAF}\\{AF′=AF}\end{array}\right.$
∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′=EF，
∴C_△CEF=EC+CF+EF
=EC+CF+EF′
=EC+BE+CF+BF′
=BC+CF+DF
=BC+CD=2AB=6，
故答案为：6．

点评 本题是一道综合题，考查三角形的全等，正方形的性质，以及等量代换的方法和转化的思想，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．