Question

14．如图，AB是半圆O的直径，D是$\widehat{AB}$上一点，C是$\widehat{AD}$的中点，过点C作AB的垂线，交AB于E，与过点D的切线交于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：
①∠BAD=∠ABC；
②GP=GD；
③点P是△ACQ的外心．
其中正确结论是②③（填序号）．

Answer 1

分析 由于$\widehat{AC}$与$\widehat{BD}$不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，可知②正确；先由垂径定理得到A为$\widehat{CE}$的中点，再由C为$\widehat{AD}$的中点，得到$\widehat{CD}$=$\widehat{AE}$，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确；

解答 解：∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$≠$\widehat{BD}$，
∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；

连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EPA+∠FAP=∠FAP+∠GPD=90°，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD，故②正确；

∵弦CE⊥AB于点F，
∴A为$\widehat{CE}$的中点，即$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，
又∵C为$\widehat{AD}$的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
故答案为：②③．

点评 本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．