Question

2．如图1，已知抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+c与x轴相交于A、B两点（B点在A点的左侧），与y轴相交于C点，且AB=10．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图2，D点在x轴上，且在A点的右侧，E点为抛物线上第二象限内的点，连接ED交抛物线于第二象限内的另外一点F，点E到y轴的距离与点F到y轴的距离之比为3：1，已知tan∠BDE=$\frac{4}{3}$，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G由B出发，沿x轴负方向运动，连接EG，点H在线段EG上，连接DH，∠EDH=∠EGB，过点E作EK⊥DH，与抛物线相应点E，若EK=EG，求点K的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据函数关系式求出对称轴，由AB=10，求出点A的坐标，代入函数关系式求出c的值，即可解答；
（2）作EM⊥x轴，垂足为点M，FN⊥x轴，垂足为点N，FT⊥EM，垂足为点T．得到四边形FTMN为矩形，由EM∥FN，FT∥BD．得到∠BDE=∠EFT，所以tan∠EFT=$\frac{4}{3}$，
设E（-3m，y_E），F（-m，y_F），得到$\frac{4}{3}=\frac{{y}_{E}-{y}_{F}}{-m-（-3m）}$，再由y_E-y_F=$\frac{8}{3}m$=（-3m²+8m+3）-（-$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{8}{3}m$+3），解得m=1，-3m=-3，代入函数关系式即可解答；
（3）作EM⊥x轴，垂足为点M，过点K作KR⊥ED，与ED相交于点R，与x轴相交于点Q．再证明△EGM≌△EKR，求出Q（-$\frac{1}{3}$，0），R（$\frac{9}{5}$，$\frac{8}{5}$），从而得到直线RQ的解析式为：y=$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$．设点K的坐标为（x，$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$）代入抛物线解析式可得x=-11，即可解答．

解答 解：（1）由y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+c，
可得对称轴为x=-4
∵AB=10，
∴点A的坐标为（1，0），
∴$-\frac{1}{3}×{1}^{2}-\frac{8}{3}×1+c=0$，
∴c=3
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x$+3．
（2）如图2，作EM⊥x轴，垂足为点M，FN⊥x轴，垂足为点N，FT⊥EM，垂足为点T．

∴∠TMN=∠FNM=∠MTF=90°，
∴四边形FTMN为矩形，
∴EM∥FN，FT∥BD．
∴∠BDE=∠EFT，
∵tan∠BDE=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠EFT=$\frac{4}{3}$，
设E（-3m，y_E），F（-m，y_F）
∴$\frac{4}{3}=\frac{{y}_{E}-{y}_{F}}{-m-（-3m）}$
∵y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x$+3过点E、F，
则y_E-y_F=$\frac{8}{3}m$=（-3m²+8m+3）-（-$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{8}{3}m$+3），
解得m=0（舍去）或m=1，
当m=1时，-3m=-3，
∴${y}_{E}=-\frac{1}{3}×（-3）^{2}-\frac{8}{3}×（-3）+3$=8．
∴E（-3，8）．
（3）如图3，作EM⊥x轴，垂足为点M，过点K作KR⊥ED，与ED相交于点R，与x轴相交于点Q．

∵∠KER+∠EDH=90°，∠EGM+∠GEM=90°，∠EDH=∠EGM，
∴∠KER=∠GEM，
在△EGM和△EKR中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KER=∠GEM}\\{∠GME=∠KRE}\\{EK=EG}\end{array}\right.$
∴△EGM≌△EKR，
∴EM=ER=8，
∵tan∠BDE=$\frac{4}{3}$．
∴ED=10，
∴DR=2，
∴DQ=$\frac{10}{3}$
∴Q（-$\frac{1}{3}$，0），
可求R（$\frac{9}{5}$，$\frac{8}{5}$）
∴直线RQ的解析式为：y=$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$．
设点K的坐标为（x，$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$）代入抛物线解析式可得x=-11
∴K（-11，-8）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是准确做出辅助线．