Question

18．如图，在△ABC 中，∠C=90°
（1）利用尺规作∠B 的角平分线交AC于D，以BD为直径作⊙O交AB于E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在（1）的条件下，连接DE
①求证：CD=DE；
②若sinA=$\frac{3}{5}$，AC=6，求AD．

Answer 1

分析 （1）根据题意作出图形即可；
（2）有BD为⊙O的直径；得到∠BED=90°，根据角平分线的性质即可得到结论；
（3）解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）如图所示，

（2）∵BD为⊙O的直径；
∴∠BED=90°，
又∵∠C=90°；
∴DE⊥AB，DC⊥BC；
又∵BD平分∠ABC；
∴DE=DC；

（3）在Rt△ADE中，sinA=$\frac{DE}{AD}$
∵sinA=$\frac{3}{5}$
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{3}{5}$
设DC=DE=3x，AD=5x
∵AC=AD+DC
∴3x+5x=6x=$\frac{3}{4}$
AD=5x=5×$\frac{3}{4}$=$\frac{15}{4}$

点评 本题考查了作图-复杂作图，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．