Question

如图，矩形纸片ABCD中，已知AB=5，AD=4，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中剪裁出的一个正方形MNEF．
（1）试求∠BNE+∠CFE的度数；
（2）试求BN+CF的值；
（3）试求点E到BC的距离；
（4）写出EM的最大值和最小值．

Answer 1

考点：正方形的性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）过点E作PQ垂直于AB，分别交AB、CD于点P、Q，证得△EPN≌△EQF，由此可得；
（2）由（1）的方法同理得出△EPN≌△EQF≌△AMN≌△MDF，得出四边形APQD为正方形，进一步求得结果即可；
（3）由四边形PBCQ是矩形，算出答案即可；
（4）当M、N、E、F为正方形APQD中点时EM最小；当M、N、E、F为正方形APQD时，EM最大由此求得即可．

解答：解：（1）如图，

过点E作PQ垂直于AB，分别交AB、CD于点P、Q，
∵∠QFE+∠QEF=∠NEP+∠QEF=90°
∴QFE=∠NEP
在△EPN和△EQF中，

∠FQE=∠EPN ∠QFE=∠PEN EF=NE

∴△EQF≌△EPN（AAS）
∴∠BNE=∠FEQ
∴∠BNE+∠CFE=90°；
（2）由△EQF≌△EPN得证明方法，
同理可得△EPN≌△EQF≌△AMN≌△MDF
∴EP=FQ=AN=DM，PN=QE=AM=DF
∴AP=PQ=QD=DA=4
∴四边形APQD为正方形，
∴BN+CF=BP+PN+QF+CQ=4+（5-4）+（5-4）=6；
（3）∵四边形PBCQ是矩形，
∴点E到BC的距离等于CQ的长为5-4=1；
（4）EM的最大值=

42+42

=4

2

；最小值=4．

点评：此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的运用．