Question

12．如图，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，点D为AC上一点，点E为BC延长线上一点，且CE=CD，连接AE交BD延长线于点F，点G为AB中点，连接CF，FG，GC，下列四个结论：①AE=BD；②△ABF≌△EBF；③∠CFE=45°；④S_△AGF=S_△BGC．其中正确的结论的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据SAS可以证明△BCD≌△ACE得BD=AE故①正确，由△EBF∽△EAC得$\frac{EF}{EC}=\frac{EB}{EA}$所以$\frac{EF}{EB}=\frac{EC}{EA}$推出△EFC∽△EBA得∠EFC=∠EBA=45°故③正确，点D是AC上任意一点，由∠ABF与∠EBF不一定相等，故②错误，因为∠CFE≠∠BAE，所以AB与CF不平行，所以S_△BGF≠S_△BGC，因为S_△AGF=S_△BGF所以S_△AGF≠S_△BGC，故④错误，．

解答 解：∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE=90°}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴BD=AE故①正确，
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠CBD+∠CDB=90°，∠CDB=∠ADFM，
∴∠CAE+∠ADF=90°，
∴∠AFD=90°，
∵∠E=∠E，∠ACE=∠BFE=90°，
∴△EBF∽△EAC，
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{EB}{EA}$，
∴$\frac{EF}{EB}=\frac{EC}{EA}$，
∵∠E=∠E，
∴△EFC∽△EBA，
∴∠EFC=∠EBA=45°故③正确，
∵点D是AC上任意一点，
∴∠ABF与∠EBF不一定相等，故②错误，
∵∠CFE≠∠BAE，
∴AB与CF不平行，
∴S_△BGF≠S_△BGC，
∵S_△AGF=S_△BGF
∴S_△AGF≠S_△BGC，故④错误．
故选B．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及等积问题，灵活运用相似三角形是解题的关键．