Question

9．已知，在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（1，4）和（3，0），点Q是y轴上的一个动点，且M、N、Q三点不在同一直线上，当△MNQ的周长最小时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 根据平面直角坐标系找出N关于y轴的对称点N′位置，连接MN′，根据轴对称确定最短路线问题交点即为△MNQ的周长最小的点Q的位置，根据MD和N′D确定△MDN′是等腰直角三角形，进而求得△QON′是等腰直角三角形，即可求得OQ的长．

解答 解：作点N关于y轴的对称点N′，连接MN′交y轴于点Q，
则此时△MNQ的周长最小，
理由：∵点N的坐标是（3，0），
∴点N′的坐标是（-3，0），
过点M作MD⊥x轴，垂足为点D
∵点M的坐标是（1，4）
∴N′D=MD=4
∴∠MN′D=45°，
∴N′O=OQ=3，
即点Q的坐标是（0，3）．

点评 本题考查了利用轴对称变换作图，坐标与图形性质，轴对称确定最短路线问题，根据已知得出C点位置是解题关键．