Question

4．阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式$\frac{-{x}^{4}-{x}^{2}+3}{-{x}^{2}+1}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
解：由于分母为-x²+1，可设-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b
∴-x⁴-x²+3=-x⁴-ax²+x²+a+b∴-x⁴-x²+3=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）
∵对于任意x，上述等式均成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=1}\\{a+b=3}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴$\frac{-{x}^{4}-{x}^{2}+3}{-{x}^{2}+1}$=$\frac{（-{x}^{2}+1）（{x}^{2}+2）+1}{-{x}^{2}+1}$=$\frac{（-{x}^{2}+1）（{x}^{2}+2）}{-{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{-{x}^{2}+1}$=x²+2+$\frac{1}{-{x}^{2}+1}$
这样，分式$\frac{-{x}^{4}-{x}^{2}+3}{-{x}^{2}+1}$被拆分成了一个整式x²+2与一个分式$\frac{1}{-{x}^{2}+1}$的和
阅读上面的材料后，请你解答下列问题
（1）将分式$\frac{{x}^{4}-4{x}^{2}-4}{{x}^{2}+1}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明$\frac{{x}^{4}-4{x}^{2}-4}{{x}^{2}+1}$的最小值为-4．

Answer 1

分析 （1）仿照阅读材料中的方法求出a与b的值，即可得到结果；
（2）根据（1）的结果，利用基本不等式求出最小值为-4即可．

解答 解：（1）设x⁴-4x²-4=（x²+1）（x²+a）+b=x⁴+（a+1）x²+a+b，
∴a+1=-4，a+b=-4，
解得：a=-5，b=1，
∴原式=$\frac{（{x}^{2}+1）（{x}^{2}-5）+1}{{x}^{2}+1}$=x²-5+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$；
（2）∵原式=x²-5+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-6≥2-6=-4，
∴原式的最小值为-4．

点评 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．