Question

18．在直角坐标系中，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象经过点D（5，1），且BD⊥y轴，垂足为B，点C是第三象限图象上的动点，过C作CA⊥x轴，垂足为A，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积是10，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；
（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．

解答 解：（1）∵比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象经过点D（5，1），
∴k=5×1=5；

（2）设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为（5，1），DB⊥y轴，
∴BD=5，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×5•h=10，
解得h=4，
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，
∴点C的纵坐标为1-4=-3，
∴$\frac{5}{x}$=-3，
解得x=-$\frac{5}{3}$，
∴点C的坐标为（-$\frac{5}{3}$，-3），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{3}k+b=-3}\\{5k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{5}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以，直线CD的解析式为y=$\frac{3}{5}$x-2；

（3）AB∥CD．
理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，设点C的坐标为（c，$\frac{5}{c}$），点D的坐标为（5，1），
∴点A、B的坐标分别为A（c，0），B（0，1），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{mc+n=0}\\{n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{c}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
所以，直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{c}$x+1，
设直线CD的解析式为y=ex+f，
则$\left\{\begin{array}{l}{ec+f=\frac{5}{c}}\\{5e+f=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{e=-\frac{1}{c}}\\{f=\frac{c+5}{c}}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{c}$x+$\frac{c+5}{c}$，
∵AB、CD的解析式k都等于-$\frac{1}{c}$，
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD．

点评 本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，三角形的面积的求解，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．