Question

14．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．
特殊发现：
如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．
（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）记$\frac{AC}{BC}$=k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）

Answer 1

分析 （1）首先过点P作PM⊥CE于点M，然后根据EF⊥AE，BC⊥AC，可得EF∥MP∥CB，推得$\frac{EM}{MC}=\frac{FP}{PB}$，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此推得PC=PE即可．
（2）首先过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DAF≌△EAF，即可判断出AD=AE；再判断出△DAP≌△EAP，即可判断出PD=PE；最后根据FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可推得PC=PE．
（3）首先根据△CPE总是等边三角形，可得将△AEF绕着点A顺时针旋转180°，△CPE仍是等边三角形；然后根据∠BCF=∠BEF=90°，点P是BF的中点，可得点C、E在以点P为圆心，BF为直径的圆上；最后根据圆周角定理，求出∠CBE的度数，即可求出当△CPE总是等边三角形时，k的值是多少．

解答 解：（1）如图2，过点P作PM⊥CE于点M，
，
PC=PE成立，理由如下：
∵EF⊥AE，BC⊥AC，
∴EF∥MP∥CB，
∴$\frac{EM}{MC}=\frac{FP}{PB}$，
∵点P是BF的中点，
∴EM=MC，
又∵PM⊥CE，
∴PC=PE．

（2）如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，
，
PC=PE成立，理由如下：
∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，
在△DAF和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠EAF}\\{∠FDA=∠FEA}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△EAF（AAS），
∴AD=AE，
在△DAP和△EAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAP=∠EAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△DAP≌△EAP（SAS），
∴PD=PE，
∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，
∴FD∥BC∥PM，
∴$\frac{DM}{MC}=\frac{FP}{PB}$，
∵点P是BF的中点，
∴DM=MC，
又∵PM⊥AC，
∴PC=PD，
又∵PD=PE，
∴PC=PE．

（3）如图4，，
∵△CPE总是等边三角形，
∴将△AEF绕着点A顺时针旋转180°，△CPE仍是等边三角形，
∵∠BCF=∠BEF=90°，点P是BF的中点，
∴点C、E在以点P为圆心，BF为直径的圆上，
∵△CPE是等边三角形，
∴∠CPE=60°，
根据圆周角定理，可得
∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CPE=$\frac{1}{2}×$60°=30°，
即∠ABC=30°，
在Rt△ABC中，
∵$\frac{AC}{BC}$=k，$\frac{AC}{BC}$=tan30°，
∴k=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴当k为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，△CPE总是等边三角形．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形判定和性质的应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
（3）解答第（3）题时，理解“△CPE总是等边三角形”的含义是解答此题的关键所在．