Question

11．在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，按下平移、斜上、上平移、斜下的方向依次不断移动，每次移动一个单位，其移动路线如图所示，已知点A₂的纵坐标为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则点A_4n（n是正整数）的横坐标为（2+$\sqrt{2}$）n．（用n的代数式表示）

Answer 1

分析 先根据勾股定理求得AH=$\sqrt{{A}_{1}{{A}_{2}}^{2}-{A}_{2}{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而得出A₁（1，0）、A₂（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）、A₃（2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）、A₄（2+$\sqrt{2}$，0），即可知每向前平移四次即前进2+$\sqrt{2}$个单位，据此知A₈[2（2+$\sqrt{2}$）0，]、A₁₂[3（2+$\sqrt{2}$），0]，…，从而得出答案．

解答 解：如图，过点A₂作A₂H⊥x轴于点H，

由题意知，A₂H=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A₁A₂=1，
则AH=$\sqrt{{A}_{1}{{A}_{2}}^{2}-{A}_{2}{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则A₁（1，0）、A₂（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）、A₃（2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）、A₄（2+$\sqrt{2}$，0），
A₈[2（2+$\sqrt{2}$）0，]、A₁₂[3（2+$\sqrt{2}$），0]，…
∴A_4n[（2+$\sqrt{2}$）n，0]，
故答案为：（2+$\sqrt{2}$）n．

点评 本题主要考查平移的情形下坐标的变化特点，仔细观察图形，分别求出n=1、2、3时对应的点A_4n的对应的坐标是解题的关键．