Question

19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．
（1）求证：BD²=DC•AD
（2）若AC=8cm，DC=2cm，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由切线的性质得出∠ABD=90°，进而可得出△BCD∽△ABD，据此可得出结论；
（2）先根据（1）中的结论得出BD²的值，再由勾股定理求出AB的长，由圆的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∴△BCD∽△ABD，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DC}{BD}$，即BD²=DC•AD；

（2）∵AC=8cm，DC=2cm，
∴AD=8+2=10cm．
∵BD²=DC•AD，
∴BD²=2×10=20．
∵∠ABD=90°，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{100-20}$=4$\sqrt{5}$，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{5}$，
∴⊙O的面积=π×（2$\sqrt{5}$）²=20π．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质及圆的切线的性质，利用切线的性质得到角之间的关系是解题的关键．