Question

11．如图，将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD交于点E．
（1）求证：△AED≌△CEB′；
（2）求证：点E在线段AC的垂直平分线上；
（3）若AB=8，AD=3，求图中阴影部分的周长22（直接写出答案）
（4）求EB'的长度，并写出解题过程．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为矩形及折叠的特性，得到B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，∠B′EC=∠DEA，得到△AED≌△CEB′．
（2））由△AED≌△CEB′，得出EA=EC，所以点E在线段AC的垂直平分线上
（3）阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，即矩形的周长；
（4）设B′E=x，则DE=x，CE=CD-x，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°
∵∠B′EC=∠DEA，
在△AED和△CEB′中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B′ED=∠DEA}\\{∠B′=∠D}\\{B′C=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CEB′（AAS）；
（2）∵△AED≌△CEB′，
∴EA=EC，
∴点E在线段AC的垂直平分线上；

（3）∵△AED≌△CEB′，
∴AE=CE，DE=EB′，
∵将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，
∴CB′=BC=AD，
∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，
=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C，
=AD+DC+AB′+B′C，
=3+8+8+3
=22；
故答案为：22；

（4）设B′E=x，
则DE=x，CE=CD-x，
∵B′C²+B′E²=CE²，
∴3²+x²=（8-x）²，
∴x=$\frac{55}{16}$，
∴EB′=$\frac{55}{16}$．

点评 本题主要考查了图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，及矩形的性质，勾股定理．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的关键．