Question

11．如图，在直角坐标系中，⊙M的圆心M在y轴上，⊙M与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，过点A作⊙M的切线AP交y轴于点P，若⊙M的半径为5，点A的坐标为（-4，0），
（1）求证：∠PAC=∠CAO；
（2）求直线PA的解析式；
（3）若点Q为⊙M上任意一点，连接OQ、PQ，问$\frac{OQ}{PQ}$的比值是否发生变化？若不变求出此值；若变化，说明变化规律．

Answer 1

分析 （1）连接MA，如图1，易证∠PAC=∠OAC，要求tan∠PAC的值，只需求tan∠OAC的值，只需求出OA、OC即可；
（2）如图1，由于点A的坐标已知，要求直线PA的解析式，只需求出点P的坐标，只需求出OP的长，易证△AOM∽△PAM，根据相似三角形的性质可求出MP，从而可求出OP，问题得以解决；
（3）连接MQ，如图2，由于MA=MQ，结合（2）中已证的结论，由此可证到△MOQ∽△MQP，然后运用相似三角形的性质即可解决问题．

解答 解：（1）连接MA，如图1，
∵PA是⊙M的切线，
∴AM⊥AP，
∴∠PAC+∠MAC=90°，
∵MA=MC，
∴∠MCA=∠MAC，
∵∠OAC+∠MCA=90°，
∴∠PAC=∠OAC；

（2）如图1，
∵∠AMO=∠PMA，∠AOM=∠PAM=90°，
∴△AOM∽△PAM，
∴$\frac{MA}{MP}$=$\frac{MO}{MA}$，
∴MA²=MO•MP．
在Rt△AOM中，
∵AO=4，AM=5，∴OM=3．
∴25=3MP，
∴MP=$\frac{25}{3}$，
∴OP=MP-OM=$\frac{25}{3}$-3=$\frac{16}{3}$，
∴点P的坐标为（0，$\frac{16}{3}$），
设直线PA的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线PA的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$；

（3）连接MQ，如图2，
∵$\frac{MA}{MP}=\frac{MO}{MA}$（（2）中已证），MA=MQ，
∴$\frac{MQ}{MP}=\frac{MC}{MQ}$，
∵∠QMO=∠PMQ，
∴△MOQ∽△MQP，
∴$\frac{OQ}{PQ}$=$\frac{MO}{MQ}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OQ}{PQ}$不变，等于$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、运用待定系数法求直线的解析式、锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，有一定的综合性．