Question

19．已知：如图（1），△OAB是边长为2的等边三角形，0A在x轴上，点B在第一象限内；△OCA是一个等腰三角形，OC=AC，顶点C在第四象限，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．
（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在线段OA上（点O、A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连结MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于点Q从点O运动到点C需要 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$秒，点P从点A→O→B需要 $\frac{4}{3}$秒，所以分两种情况讨论：①0＜t＜$\frac{2}{3}$；②$\frac{2}{3}$＜t≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．针对每一种情况，根据P点所在的位置，由三角形的面积公式得出△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并且得出自变量t的取值范围；
（2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D为顶角顶点，C为顶角顶点，D为顶角顶点，分别讨论，得出结果；
（3）如果延长BA至点F，使AF=OM，连接CF，则由SAS可证△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS证出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，得出△BMN的周长=BA+BO=4即可．

解答 解：（1）过点C作CD⊥OA于点D．如图1所示：
∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=DA=1．
在Rt△ODC中，OC=$\frac{OD}{cos30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
①当0＜t＜$\frac{2}{3}$时，OQ=t，AP=3t，OP=OA-AP=2-3t．
过点Q作QE⊥OA于点E．
在Rt△OEQ中
∵∠AOC=30°，
∴QE=$\frac{1}{2}$OQ=$\frac{t}{2}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OP•EQ=$\frac{1}{2}$（2-3t）•$\frac{t}{2}$=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t，
即S=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t；
②当$\frac{2}{3}$＜t≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，如图2所示：
OQ=t，OP=3t-2．
∵∠BOA=60°，∠AOC=30°，
∴∠POQ=90°．
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OQ•OP=$\frac{1}{2}$t•（3t-2）=$\frac{3}{2}$t²-t，
综上所述：当0＜t＜$\frac{2}{3}$时，S=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t；当$\frac{2}{3}$＜t≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，S=$\frac{3}{2}$t²-t；
（2）①当OD=CD时，∠COA=30°，则OD=$\frac{2}{3}$D（$\frac{2}{3}$，0）；
②当OD=OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，D（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）；
③以C为顶点，此时D点和A点重合；
因此，点D的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）；
（3）△BMN的周长不发生变化．理由如下：
延长BA至点F，使AF=OM，连接CF；如图3所示．
在△MOC和△FAC中，$\left\{\begin{array}{l}{OM=AF}&{\;}\\{∠MOC=∠FAC=90°}&{\;}\\{OC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MOC≌△FAC（SAS），
∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．
∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA
=∠OCA-∠MCN
=60°，
∴∠FCN=∠MCN，
在△MCN和△FCN中，$\left\{\begin{array}{l}{MC=CF}&{\;}\\{∠FCN=∠MCN}&{\;}\\{CN=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△FCN（SAS），
∴MN=NF．
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=4．
∴△BMN的周长不变，其周长为4．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、三角函数、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．本题难度很大．证明三角形全等是解决问题的关键，注意分类讨论时，做到不重复，不遗漏．