Question

4．如图，已知四边形AEBC，对角线AB，CE为⊙O的直径，以BC为直径的圆与AB交与点D，连接CD，过点O作OF⊥BE于点M，OF交⊙O于点F，连接AF，交CB于点G，交BE于点N，连接EF．若∠BCD=30°．
（1）四边形AEBC是矩形；
（2）求证：△AEG≌△CBD；
（3）△EFN与△ACO是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用直径所对的圆周角是90°，即可求解；
（2）根据同弧（等弧）所对的圆周角相等，和垂径定理得出∠3=∠BCD=30°，∠2=∠1=60，由矩形性质得出AE=BC，即可证明全等；
（3）由（2）中结论，结合直径所对的圆周角为90°，可以得出：∠5=∠6=∠7=∠8=30°，即可证明相似；

解答 解：（1）∵AB，CE为⊙O的直径，
∴∠CAE=∠ACB=∠CBE=90°，
∴四边形AEBC是矩形；
（2）如图1，

由（1）知，四边形AEBC是矩形，
∴AE=BC，
∵以BC为直径的圆与AB交与点D，
∴∠BDC=90°，
由∠BCD=90°，可求：∠1=60°，
∴∠2=∠1=60°，
∵OA=OE，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠OAE=60°，
∵OF⊥BE，
∴弧EF=弧BF，
∴∠3=∠4=30°，
∴∠3=∠BCD，
在△AEG和CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{AE=BC}\\{∠3=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△CBD；
（3）如图2
∵AB，CE为⊙O的直径，
∴∠CAE=∠ACB=∠CBE=90°，
由（2）知∠2=∠1=60°，
可求：∠7=∠8=30°，
∴∠6=∠7=30°，
由（2）知，弧EF=弧BF，∠4=30°，
∴∠5=∠4=30°，
∴∠5=∠6=∠7=∠8=30°，
∴△EFN∽△ACO；
∴∠3=∠6=30°，
∴EF=AE，
在Rt△AEC中，∠7=30°，
∴$\frac{AE}{AC}$=tan∠7=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴两三角形的相似比为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题主要考查圆的综合问题，熟悉圆的相关性质，会进行三角形全等和相似的证明，熟悉矩形的判定方法，会适当运用三角函数是解题的关键．