Question

2．已知△ABC，点D，E分别在边AB，AC上，分别过A，D，E作BC的垂线，垂足为H，F，G．
（1）如图1，若AB=AC，BD=AE，求证：AH=DF+EG；
（2）如图2，若$\frac{BD}{BA}$=$\frac{AE}{AC}$，请猜想AH，DF，EG之间的数量关系，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）如图1，过E作EM⊥AH于M，得到四边形EMHG是矩形，于是得到MH=EG，通过△DBF≌△AME，得到AM=DF，等量代换即可得到结论．
（2）由于DF⊥BC，AH⊥BC，EG⊥BC，得到DF∥AH∥EG，推出△BDF∽△ABH，△CEG∽△ACH，根据相似三角形的性质得到$\frac{BD}{AB}=\frac{DF}{AH}$，$\frac{CE}{AC}=\frac{EG}{AH}$，推出1-$\frac{AE}{AC}$=$\frac{EG}{AH}$，
等量代换得到1-$\frac{DF}{AH}=\frac{EG}{AH}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：如图1，过E作EM⊥AH于M，
∵AH⊥BC，EG⊥BC，
∴∠EMH=∠MHG=∠EGH=90°，
∴四边形EMHG是矩形，
∴MH=EG，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠AME=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAH=∠CAH，
∵DF⊥BC，AH⊥BC，
∴DF∥AH，
∴∠BDH=∠BAH=∠EAM，
在△DBF与△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠EAM}\\{∠DFB=∠AME}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△AME，
∴AM=DF，
∵AH=AM+HM，
∴AH=DF+EG；

（2）答：AH=DF+EG；
证明：∵DF⊥BC，AH⊥BC，EG⊥BC，
∴DF∥AH∥EG，
∴△BDF∽△ABH，△CEG∽△ACH，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DF}{AH}$，$\frac{CE}{AC}=\frac{EG}{AH}$，
∵CE=AC-AE，
∴$\frac{AC-AE}{AC}=\frac{EG}{AH}$，
∴1-$\frac{AE}{AC}$=$\frac{EG}{AH}$，
∵$\frac{BD}{BA}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{DF}{AH}=\frac{AE}{AC}$，
∴1-$\frac{DF}{AH}=\frac{EG}{AH}$，
∴AH=DF+EG．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．