Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为A（-1，-1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线Ac的解析式及B点坐标；
（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，-2）且垂直于y轴的直线于E点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）利用顶点式将（-1，-1）代入求出函数解析式即可；
（2）首先根据题意得出C点坐标，进而利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而联立二次函数解析式，即可得出B点坐标；
（3）首先求出直线EF的解析式，进而得出BP的解析式，进而将y=-2x-7和y=

1

2

x+

1

2

联立求出P点坐标即可．

解答：解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x+1）²-1，将（1，0）代入得：
0=a（1+1）²-1，
解得；a=

1

4

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

4

（x+1）²-1；

（2）∵A（-1，-1），
∴∠COA=45°，
∵∠CAO=90°，
∴△CAO是等腰直角三角形，
∴AC=AO，
∴C（-2，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
将A，C点代入得出：

-k+b=-1 -2k+b=0

，
解得：

k=-1 b=-2

，
∴直线AC的解析式为：y=-x-2，
将y=

1

4

（x+1）²-1和y=-x-2联立得：

y= 1 4 (x+1)2-1 y=-x-2

，
解得：

x1=-1 y1=-1

，

x2=-5 y2=3

，
∴直线AC的解析式为：y=-x-2，B点坐标为：（-5，3）；

（3）过点B作BP⊥EF于点P，
由题意可得出：E（-5，-2），设直线EF的解析式为：y=dx+c，
则

-d+c=0 -5d+c=-2

，
解得：

d= 1 2 c= 1 2

，
∴直线EF的解析式为：y=

1

2

x+

1

2

，
∵直线BP⊥EF，∴设直线BP的解析式为：y=-2x+e，
将B（-5，3）代入得出：3=-2×（-5）+e，
解得：e=-7，
∴直线BP的解析式为：y=-2x-7，
∴将y=-2x-7和y=

1

2

x+

1

2

联立得：

y=-2x-7 y= 1 2 x+ 1 2

，
解得：

x=-3 y=-1

，
∴P（-3，-1），
故存在P点使得BP⊥EF，此时P（-3，-1）．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及顶点式求二次函数解析式以及垂直的两函数系数关系等知识，求出C点坐标是解题关键．