Question

如图，二次函数y=ax²+c的图象交x轴于A、B两点，点A坐标为（-1，0），顶点C的坐标为（0，-2），点D在x轴上，过点D作直线l垂直于x轴，设点D的横坐标为m（m＞1）．
（1）求二次函数的函数关系式和点B的坐标；
（2）二次函数y=ax²+c的图象上有一点Q，当△ODQ是以点D为直角顶点的等腰直角三角形时，求m的值；
（3）在直线l上有一点P（点P在第一象限），使得以点P、D、B为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形全等，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点A和点C的坐标代入y=ax²+c，求出a和c的值，继而可求得函数关系式和点B的坐标；
（2）根据△ODQ是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，可得点Q的坐标为（m，2m²-2），然后根据等腰直角三角形，可得出方程，求出m的值即可；
（3）分当△BOC≌△PDB时和当△BOC≌△BDP时，根据全等三角形的性质，求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+c图象经过点A（-1，0）和点C（0，-2），
∴

c=-2 a+c=0

，
解得：

a=2 c=-2

，
∴二次函数的函数关系式为y=2x²-2；
∵点B与点A（-1，0）关于y轴对称，
∴点B的坐标为（1，0）；

（2）当△ODQ是以点D为直角顶点的等腰直角三角形时，
点Q为二次函数和直线l的交点，
∵OD=m，
∴点Q的坐标为（m，2m²-2），
则2m²-2=m，
解得：m₁=

1- 17

4

，m₂=

1+ 17

4

，
∵m＞1，
∴m=

1+ 17

4

；

（3）①当△BOC≌△PDB时，PD=OB=1，BD=OC=2，
∴m=3，
∴点P的坐标为（3，1），
②当△BOC≌△BDP时，PD=OC=2，BD=OB=1，
∴m=2，
∴点P的坐标为（2，2）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到等腰直角三角形的性质，运用待定系数法求二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质．此题综合性很强，解题的关键是方程思想，分类讨论思想与数形结合思想的应用．