Question

10．已知：直线l：y=x+2与过点（0，-2），且与平行于x轴的直线交于点A，点A关于直线x=-1的对称点为点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若抛物线y=-x²+bx+c经过A，B两点，求抛物线解析式；
（3）若抛物线y=-x²+bx+c的顶点在直线l上移动，当抛物线与线段AB有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点A在直线l上可得A的坐标，根据点A、B关于直线x=-1对称可得点B坐标；
（2）根据（1）中A、B两点坐标，利用待定系数法可求得解析式；
（3）由顶点在直线l上可设顶点坐标为（t，t+2），继而可得抛物线解析式为y=-（x-t）²+t+2，根据抛物线与线段AB有一个公共点，考虑抛物线过点A或点B临界情况可得t的范围．

解答 解：（1）由题可知A点的纵坐标为-2，
∵点A在直线l：y=x+2上，
∴A（-4，-2），
由对称性可知B（2，-2）；

（2）∵抛物线y=-x²+bx+c过点A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=-2}\\{-4+2b+c=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²-2x+6；

（3）∵抛物线y=-x²+bx+c顶点在直线y=x+2上，
由题可知，设抛物线顶点坐标为（t，t+2），
∴抛物线解析式可化为y=-（x-t）²+t+2．
把A（-4，-2）代入解析式可得-2=-（-4-t）²+t+2，
解得：t=-3或t=-4．
∴-4≤t＜-3，
把B（2，-2）代入解析式可得-2=-（2-t）²+t+2．
解得：t=0或t=5，
∴0＜t≤5．
综上可知t的取值范围时-4≤t＜-3或0＜t≤5．

点评 本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，待定系数求解析式是解题的根本、前提，将抛物线与线段AB有一个公共点转化为方程问题是解题关键．