Question

16．如图所示，矩形ABCD的面积为12cm²，它的两条对角线交于点O₁，以AB、AO₁邻边作平行四边形ABC₁O₁，平行四边形ABC₁O₁的对角线交于点O₂；同样以AB、AO₂为邻边作平行四边形ABC₂O₂…；依此类推，则平行四边形ABC₆O₆的面积为$\frac{3}{16}$cm²．

Answer 1

分析 根据矩形性质得出O₁A=O₁C，O₁B=O₁D，AC=BD，推出O₁A=O₁C=O₁B=O₁D，求出S△AO1B=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=3cm²，求出四边形ABC₁O₁是菱形，推出AC₁=2O₁A，O₁B=2O₁O₂=2O₂B，AC₁⊥BO₁，平行四边形ABC₁O₁的面积是$\frac{1}{2}$AC₁×BO₁，推出△ABO₂的面积，同理可得平行四边形ABC₂O₂的面积，平行四边形ABC₃O₃的面积，平行四边形ABC₄O₄的面积，平行四边形ABC₅D₅的面积，平行四边形ABC₆O₆的面积．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴O₁A=O₁C，O₁B=O₁D，AC=BD，
∴O₁A=O₁C=O₁B=O₁D，
∴S△AO1B=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=$\frac{1}{4}$×12cm²=3cm²，
∵四边形ABC₁O₁是平行四边形，O₁A=O₁B，
∴四边形ABC₁O₁是菱形，
∴AC₁=2O₂A，O₁B=2O₁O₂=2O₂B，AC₁⊥BO₁，
∴S_?ABC1O1=$\frac{1}{2}$AC₁×BO₁=$\frac{1}{2}$×2AO₂×BO₁=2×$\frac{1}{2}$×AO₂×BO₁=2×3cm²=6cm²，
∴S_△ABO2=$\frac{1}{4}$S_?ABC1O1=$\frac{3}{2}$cm²，
同理平行四边形ABC₂O₂的面积是3cm²，
平行四边形ABC₃O₃的面积是$\frac{3}{2}$cm²，
平行四边形ABC₄O₄的面积是$\frac{3}{4}$cm²，
平行四边形ABC₅D₅的面积是$\frac{3}{8}$cm²，
平行四边形ABC₆O₆的面积是$\frac{3}{16}$cm²，
故答案为：$\frac{3}{16}$cm²．

点评 本题考查了矩形的性质，平行四边形性质，菱形的性质和判定，三角形的面积等知识点，解此题的关键是找出规律，题目比较好，但是有一定的难度．