Question

5．已知，正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（0，3），双曲线y₁=$\frac{k}{x}$分别交AB，BC于点E，D，直线y₂=x-1过点D与x轴正半轴交于点F．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P为直线y₂=x-1上的一个动点，且△POF的面积与四边形AOFE的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质及点A的坐标得出OC=3，求出x=3时y₂的值得出点D的坐标，继而得出反比例函数的解析式；
（2）根据直线和双曲线的解析式求得OF=1、AE=2，从而求得S_{四边形AOFE}=$\frac{9}{2}$，设点P（x，x-1），得出S_△POF=$\frac{1}{2}$×1×|x-1|=$\frac{9}{2}$，解之求得x的值，从而求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵四边形OABC是正方形，且点A坐标为（0，3），
∴OA=OC=3，
将x=3代入y₂=x-1，得：y₂=2，
∴点D的坐标为（3，2），
则反比例函数的表达式为y₁=$\frac{6}{x}$；

（2）将y=0代入y₂=x-1得：x=1，
∴OF=1，
将y=3代入y₁=$\frac{6}{x}$，得：x=2，
∴AE=2，
则S_{四边形AOFE}=$\frac{1}{2}$×（1+2）×3=$\frac{9}{2}$，
设点P的坐标为（x，x-1），
则S_△POF=$\frac{1}{2}$×1×|x-1|=$\frac{9}{2}$，
解得：x=10或x=-8，
当x=10时，y=9；当x=-8时，y=-9，
∴点P的坐标为（10，9）或（-9，-8）．

点评 本题主要考查直线与双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式及三角形的面积问题是解题的关键．