Question

6．阅读下面材料，再解方程：
解方程x²-|x|-6=0
解：当x≥0时，原方程化为x²-x-6=0，解得：x₁=3，x₂=-2（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x²+x-6=0，解得：x₁=-3（不合题意，舍去），x₂=2；
∴原方程的根是x₁=3，x₂=2．
（1）请参照例题解方程x²-|x-1|-3=0；
（2）拓展应用：已知实数m，n满足：m²-7m+2=0，n²-7n+2=0，求：$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）分x≥1和x＜1两种情形，把绝对值方程转化为一元二次方程解决．
（2）①当m=n时，$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$=2；
②当m≠n时，m、n是方程x²-7x+2=0的两根，根据根与系数关系即可解决问题．

解答 解：（1）当x≥1时，原方程化为x²-x-2=0，解得：x₁=2，x₂=-1（不合题意，舍去）；
当x＜1时，原方程化为x²+x-4=0，解得：x₁=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$（不合题意，舍去），；
∴原方程的根是x₁=2，x₂=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$．
（2）∵m²-7m+2=0，n²-7n+2=0，
①当m=n时，$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$=2，
②当m≠n时，m、n是方程x²-7x+2=0的两根，
∴m+n=7，mn=2，
∴原式=$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$=$\frac{49-4}{2}$=$\frac{45}{2}$．
∴$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$的值为2或$\frac{45}{2}$．

点评 本题考查根与系数关系、整体代入的思想，解题的关键是学会转化的思想，把问题转化为一元二次方程解决，学会分类讨论的思想，学会利用公式恒等变形，属于中考常考题型．