Question

在△ABC中，D是边BC的中点．
（1）①如图1，求证：△ABD和△ACD的面积相等；
②如图2，延长AD至E，使DE=AD，连结CE，求证：AB=EC．
（2）当∠BAC=90°时，可以结合利用以上各题的结论，解决下列问题：
①求证：AD=

1

2

BC（即：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
②已知BC=4，将△ABD沿AD所在直线翻折，得到△ADB′，若△ADB′与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的

1

4

，请画出图形（草图）并求出AC的长度．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；运用三角形的面积公式即可解决问题；
（2）①证明△ABD≌△ECD，即可解决问题．
②画出图形，运用分类讨论的数学思想，逐一分类解析，即可解决问题．

解答：解：（1）证明：①过点A作AH⊥BC，垂足为H，
则S△ABD=

1

2

BD•AH，S△ACD=

1

2

CD•AH，
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD的面积相等．
②在△ABD和△ECD中，

BD=CD ∠BDA=∠CDE AD=DE

，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC．
（2）①∵△ABD≌△ECD（已证）
∴∠B=∠ECD；
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BAC=90°；
在△ABC与△CEA中，

AB=CE ∠BAC=∠ECA AC=CA

，
∴△ABC≌△CEA（SAS），
∴BC=AE；
∵AD=

1

2

AE，
∴AD=

1

2

BC．
②画草图如下：

（Ⅰ）当AB＞AC时，如图3，由△ADB′与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的

1

4

，
结合（1）①题的结论，可以得到点O既即是ABˊ的中点，也是CD的中点，
故四边形ADB′C为平行四边形，
∴AC=BˊD=BD=

1

2

BC=2．
（Ⅱ）当AB＜AC时，
如图4，类比第（Ⅰ）题，同理可证△AOBˊ≌△COD，
∴ABˊ=CD=2，∠Bˊ=∠CDO，
又∵∠Bˊ=∠B，
∴∠B=∠CDO，
∴AB∥OD，
∴∠COD=∠A=90°，
又∵DO=OBˊ=1，
由勾股定理可得CO=

3

，
∴AC=2CO=2

3

．
（Ⅲ）当 AB=AC时，由等腰三角形的性质可知，
折叠后重合的面积等于△ABC面积的

1

2

，
不可能等于

1

4

，所以不合题意，舍去．
综上所述：AC=2或2

3

．

点评：该题主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题；牢固掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．