Question

15．如图，点A，B的坐标分别为（1，3）和（5，3），抛物线y=a（x-h）²+k的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为9．

Answer 1

分析 当抛物线y=a（x-h）²+k的顶点在线段AB的A点上时，点C的横坐标最小，把A的坐标代入即可求出a的值，因为抛物线y=a（x-h）²+k的顶点在线段AB上运动，所以抛物线的a是定值．根据题意可知当抛物线的顶点运动到B时，D的横坐标最大，把B的坐标和a的值代入即可求出二次函数的解析式，再求出y=0时x的值即可求出答案．

解答 解：当抛物线y=a（x-h）²+k的顶点在线段AB的A点上时，点C的横坐标最小，
把A（1，3）代入得：y=a（x-1）²+3，
把C（-3，0）代入得：0=a（-3-1）²+3，
解得：a=-$\frac{3}{16}$，
即：y=-$\frac{3}{16}$（x-1）²+3，
∵抛物线y=a（x-h）²+k的顶点在线段AB上运动，
∴抛物线的a永远等于-$\frac{3}{16}$，
当抛物线的顶点运动到B时，D的横坐标最大，把a=-$\frac{3}{16}$和顶点B（5，3）代入y=a（x-h）²+k得：y=-$\frac{3}{16}$（x-5）²+3，
当y=0时，0=-$\frac{3}{16}$（x-5）²+3，
解得，x=9或x=1（不合题意，舍去）．
所以点D的横坐标最大值为9．
故答案为：9．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．