Question

9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点D在BC边上运动，作∠ADE=∠B，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当AD=DE时，求BD的长；
（3）当AE=DE时，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明△ABD∽△DCE，只要证明∠BAD=∠CDE，∠B=∠C即可．
（2）当AD=DE时，△ABD≌△DCE，AB=DC=5，由此即可解决问题．
（3）只要证明△CAB∽△CDA，得$\frac{CA}{CD}$=$\frac{CB}{CA}$，求出CD即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠BAD+∠B，∠ADC=∠ADE+∠EDC
∵∠ADE=∠B
∴∠BAD=∠EDC，
又∵∠B=∠C
∴△ABD∽△DCE．

（2）解：当AD=DE时，
由（1）知△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE，
∴AB=CD=5，
∴BD=BC-DC=6-5=1．

（3）解：当AE=DE时，可知∠EAD=∠EDA，
∵∠BAD=∠EDC，
∴∠CAB=∠CDA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAB∽△CDA，
∴$\frac{CA}{CD}$=$\frac{CB}{CA}$，
∴$\frac{5}{CD}$=$\frac{6}{5}$，
∴CD=$\frac{25}{6}$
∴BD=BC-CD=6-$\frac{25}{6}$=$\frac{11}{6}$．

点评 本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质，全等三角形得到和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．