Question

14．问题情境：
数学活动课上，同学们探究等腰三角形中两条线段的关系：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，点D是边AC上的一点，且DA=DB，点P是边AB上一点（不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为点E，交线段BD于点F．线段PF与BE之间存在怎样的数量关系？

特例猜想：
（1）为探究问题的一般结论，同学们先研究特殊情况：当点P与点A重合时，如图2，小彬猜想得到①△ADF≌△BDC；②PF=2BE．请你判断这两个猜想是否正确，并说明理由；
一般探究：
（2）通过特例启发，同学们广开思路，进行了如下探究．
请从下列A，B两题中任选一题作答：我选择A或B题：
A：如图3，勤学小组发现图1中PF=2BE也成立．他们的思路是：在图1中的BD上取一点N，使得PN=NB，延长PN交BC于点M，得到图3，证明了△PNF≌△BNM，…．请你根据勤学小组的思路接着完成说明PF=2BE的过程．
B：善思小组探究了更加一般的情况，当图1中的点P运动到线段BA的延长线上，如图4，其余条件不变，发现此时PF=2BE也成立．他们的思路是：在BD的延长线上取一点N，使得PN=NB，延长PN交BC的延长线于点M，…．请你根据善思小组的思路说明图4中的PF=2BE．

Answer 1

分析 （1）这两个结论都是正确的．根据AAS或ASA即可证明△ADF≌△BDC，推出PF=BC，再证明BC=2BE即可解决问题；
（2）A、B的证明思路差不多．只要证明△PNF≌△BNM，即可解决问题；

解答 解：（1）这两个结论都是正确的，理由如下：如图2中，
∵DA=DB，
∴∠DBA=∠BAC，
∵∠BAC=45°，
∴∠DBA=45°，
∴∠ADB=180°∠DAB-∠ABD=180°-45°-45°=90°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠BDC，
∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90°，
∴∠C+∠DAF=90°，∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠C=∠AFD，
在△ADF和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠C}\\{∠ADF=∠BDC}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDC．故①正确，
∴AF=BC，即PF=BC，
∵AB=AC，PE⊥BC，
∴BC=2BE，
∴PF=2BE．故②正确．

（2）A：如图3中，由（1）可知，△PNF≌△BNM，
∴PF=BM，
∵NP=NB，
∴∠NPB=∠NBP，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAC=∠NPB=45°，
∴PM∥AC，
∴∠PMB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∴∠PMB=∠ABC，
∴PB=PM，∵PE⊥BC，
∴EM=BE，即BM=2BE，
∴PF=2BE

B：如图4中∵NP=NB，
∴∠NPB=∠NBP=∠ABD，
由（1）可知，∠ABD=∠DAB=45°，
∴∠NPB=∠DAB=45°，
∴PM∥AC，
∴∠PNB=∠ADB=90°，
∵∠PNB+∠BNM=90°，∴∠BNM=90°，
∴∠1+∠PFN=90°，
∵PE⊥BM，
∴∠PEM=∠PEB=90°，∠1+∠M=90°，
∴∠M=∠PFN，
∵∠BNM=∠PNF，PN=BN，
∴△PNF≌△BNM，
∴PF=BM，
∵PM∥AC，
∴∠M=∠2，
∵AB=AC，
∴∠2=∠ABC，
∴∠M=∠ABC，
∴PM=PB，∵PE⊥BM，
∴EM=BE，即BM=2BE，
∴PF=2BE．
故答案为A或B．

点评 本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．