Question

如图1所示，直线y=x+4分别交x轴、y轴于点A、B，直线y=kx-k交线段AB于点C，交x轴于点D，且S_△ACD=5．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直接写出不等式x+4＞kx-k的解集

 

；
（3）如图2所示，已知P（-1.5，2.5），Q为x轴上一动点，AT⊥PQ于T，且TH=AT，连接DH，当点Q运动时，∠DHP的大小是否变化？写出你的结论，并证明．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据直线解析式求出点A的坐标，再求出点D的坐标，从而求出AD，联立两函数解析式求出点C的坐标，然后根据△ACD的面积列式求解得到k，即可得解；
（2）写出点C的坐标，再根据函数图象写出直线AB在直线CD上方部分的x的取值范围即可；
（3）连接PA、PD，利用勾股定理列式求出AP、PD，再求出AD，然后判断出△APD是等腰直角三角形，过点D作DM⊥PQ于M，利用同角的余角相等求出∠APT=∠PDM，再利用“角角边”求出△APT和△PDM全等，根据全等三角形对应边相等可得DM=PT，PM=AT，然后求出MH=DM，从而得到△MDH是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得∠DHP=45°，值不变．

解答：解：（1）令y=0，则x+4=0，
解得x=-4，
∴点A（-4，0），
令y=0，则kx-k=0，
解得x=1，
∴点D（1，0），
∴AD=1-（-4）=1+4=5，
联立

y=x+4 y=kx-k

，
解得

x= k+4 k-1 y= 5k k-1

，
∴S_△ACD=

1

2

×5×

5k

k-1

=5，
解得k=-

2

3

，
∴直线CD的解析式为y=-

2

3

x+

2

3

；

（2）∵k=-

2

3

，
∴

k+4

k-1

=-2，

5k

k-1

=2，
∴点C的坐标为（-2，2），
∴不等式x+4＞kx-k的解集x＞-2；
故答案为：x＞-2；

（3）如图，连接PA、PD，
∵A（-4，0），D（1，0），P（-1.5，2.5），
∴AP=

(-1.5+4)2+2.52

=

5 2

2

，
PD=

(1+1.5)2+2.52

=

5 2

2

，
AD=5，
∵AP²+PD²=（

5 2

2

）²+（

5 2

2

）²=25=AD²，
∴△APD是等腰直角三角形，
过点D作DM⊥PQ于M，
则∠DPM+∠PDM=90°，∠APT+∠DPM=90°，
∴∠APT=∠PDM，
又∵AT⊥PQ，
∴∠ATP=∠PMD=90°，
在△APT和△PDM中，

∠APT=∠PDM ∠ATP=∠PMD=90° PA=PD

，
∴△APT≌△PDM（AAS），
∴DM=PT，PM=AT，
∵TH=AT，
∴MH=PM+PH=AT+PH=TH+PH=PT=DM，
∴△MDH是等腰直角三角形，
∴∠DHP=45°，
故∠DHP的大小不变化．

点评：本题是一次函数综合题型，主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，联立两函数解析式求交点坐标，三角形的面积，一次函数与不等式，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形并求出∠DHP是等腰直角三角形的锐角．