Question

在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点A出发，沿折线ABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm²？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直角梯形,一元一次方程的应用,平行四边形的性质

专题：动点型

分析：（1）过A作AM⊥DC于M，得出平行四边形AMCB，求出AM，根据勾股定理求出DM即可；
（2）根据平行四边形的对边相等得出方程，求出即可；
（3）分为三种情况，根据题意画出符合条件的所有图形，根据三角形的面积得出方程，求出符合范围的数即可．

解答：解：（1）如图1，

过A作AM⊥DC于M，
∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，
∴AM∥BC，
∴四边形AMCB是矩形，
∵AB=AD=10cm，BC=8cm，
∴AM=BC=8cm，CM=AB=10cm，
在Rt△AMD中，由勾股定理得：DM=6cm，
CD=DM+CM=10cm+6cm=16cm；
                                                     
（2）如图2，

当四边形PBQD是平行四边形时，PB=DQ，
即10-3t=2t，
解得t=2，
此时DQ=4，CQ=12，BQ=

BC2+CQ2

=4

13

，
所以C_□PBQD=2（BQ+DQ）=8+8

13

；
即四边形PBQD的周长是（8+8

13

）cm；

（3）当P在AB上时，如图3，

即0≤t≤

10

3

，
S_△BPQ=

1

2

BP•BC=4（10-3t）=20，
解得t=

5

3

；
当P在BC上时，如图4，即

10

3

＜t≤6，

S_△BPQ=

1

2

BP•CQ=

1

2

（3t-10）（16-2t）=20，、
此方程没有实数解；                                                         
当P在CD上时：
若点P在点Q的右侧，如图5，即6＜t≤

34

5

，

S_△BPQ=

1

2

PQ•BC=4（34-5t）=20，
解得t=

29

5

＜6，不合题意，应舍去；                                             
若P在Q的左侧，如图6，即

34

5

＜t≤8，

S_△BPQ=

1

2

PQ•BC=4（5t-34）=20，
解得t=

39

5

；
综上所述，当t=

5

3

秒或

39

5

秒时，△BPQ的面积为20cm²．

点评：本题考查了梯形性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，有一定的难度．