Question

17．如图，已知一次函数y=$\frac{1}{3}$x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C、D都在x轴的正半轴上，D点坐标为（2，0），若两钝角∠ABD=∠BCD；
（1）求直线BC的解析式：
（2）若P是直线BD上一点，且S_△CDP=$\frac{1}{2}$S_△CDB，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）先由函数y=$\frac{1}{3}$x+1求得A、B点的坐标及BD的长，再根据∠ABD=∠BCD证△ABD∽△BCD，可得$\frac{AD}{BD}$=$\frac{BD}{CD}$，即可求得CD的长，即点C的坐标，最后由B、C坐标用待定系数法即可求得BC解析式；
（2）先根据B、D坐标求得直线BD解析式，即可设点P坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x+1），再根据S_△CDP=$\frac{1}{2}$S_△CDB可得DP=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，利用两点间距离公式即可列出关于x的方程，求解后即可得点P坐标．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{3}$x+1中，当y=0时，x=-3；当x=0时，y=1；
∴点A（-3，0）、点B（0，1），
又∵D点坐标为（2，0），
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠ABD=∠BCD，∠ADB=∠BDC，
∴△ABD∽△BCD，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{BD}{CD}$，即$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{CD}$，
解得：CD=1，
∴点C（1，0），
设直线BC解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为：y=-x+1；

（2）设BD所在直线解析式为y=mx+n，
将点B（0，1）、D（2，0）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{2m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线BD解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∵点P在直线BD上，
∴设点P坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x+1），
∵S_△CDP=$\frac{1}{2}$S_△CDB，
∴DP=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即$\sqrt{（x-2）^{2}+（-\frac{1}{2}x+1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
整理，得：x²-4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴点P坐标为（1，$\frac{1}{2}$）或（3，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式，根据等高情况下三角形面积间关系得出底边的关系并列出方程求解是解题的关键．