Question

2．已知：如图，正方形ABCD，∠ECF=135°，∠BCE=∠DCG=∠GCH．求证：H为EF的中点．

Answer 1

分析 如图，延长EC到M，使得EC=CM，连接FM．先证明△CBE≌△CDG，再证明△FCG≌△FCM，推出∠HCE=∠M，推出CH∥FM，由此即可证明．

解答 证明：如图，延长EC到M，使得EC=CM，连接FM．

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ADC=∠BCD=∠CBE=90°，AD∥BC，
在△CBE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCD=∠BCE}\\{∠CDG=∠CBE}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBE，
∴CE=CG=CM，
∵∠ECF=135°，
∴∠MCF=45°，
∵∠ECG=∠BCD=90°，
∴∠GCF=45°=∠MCF，
在△CFG和△CFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{∠FCG=∠FCM}\\{CG=CM}\end{array}\right.$，
∴△FCG≌△FCM，
∴∠CGF=∠M，
∵∠CGF=∠GCB=∠HCE，
∴∠M=∠HCE，
∴CH∥FM，
∵EC=CM，
∴EH=HF．
∴H为EF中点．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．