Question

5．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字能组成5040个没有重复数字的七位数，证明：其中没有一个数是另一个数的倍数．

Answer 1

分析 如果由1，2，3，4，5，6，7组成的7位数中最大数除以最小数不超过6，即使存在一个是另一个的倍数最大的也只是6倍．再因为由1，2，3，4，5，6，7组成的7位数被9除都余1，如果存在一个是另一个的倍数，那么被9除的余数也是倍数，即被9除的余数有可能出现2，3，4，5或6．这是不可能的，所以得到证明．

解答 证明：∵用1，2，3，4，5，6，7这七个数字能组成的最小七位数是1234567，最大七位数是7654321，
∴由1，2，3，4，5，6，7组成的7位数中最大数除以最小数不超过6，即使存在一个是另一个的倍数最大的也只是6倍．
∵1+2+3+4+5+6+7=28，
28÷9=3…1，
∴由1，2，3，4，5，6，7组成的7位数被9除都余1，
∵如果存在一个是另一个的倍数，那么被9除的余数也是倍数，即被9除的余数有可能出现2，3，4，5或6，这是不可能的，
∴其中没有一个数是另一个数的倍数．

点评 考查了约数与倍数，解题的关键是熟练掌握9的倍数的特征，以及得到由1，2，3，4，5，6，7组成的7位数的范围．