Question

4．数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，且a、b满足|a+3|+|b+3a|=0
（1）求a、b的值
（2）点P从A点以3个单位/秒向右运动，点Q同时从B点以2个单位/秒向左运动．若|PA|+|PB|=2|PQ|，求运动时间t
（3）在数轴上，点C、点T、点D分别表示的数是-8、10、11，点A、点C均以2个单位/秒速度同时向右运动．在运动的过程中，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|是否存在最小值？若存在，请写出最小值，并求出最小值的运动时间t的值或取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由绝对值的非负性即可得出关于a、b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）找出运动时间为t秒时，点P、Q对应的数，利用两点间的距离公式即可得出PQ、PQ、PB的长度，结合|PA|+|PB|=2|PQ|即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）假设存在，找出运动时间为t秒时，点A、C对应的数，根据两点间的距离公式找出|TA|、|TC|、|TB|、|TD|的值，分t＜6.5、6.5≤t≤9和t＞9三种情况考虑|TA|+|TC|+|TB|+|TD|的值，此题得解．

解答 解：（1）∵|a+3|+|b+3a|=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+3=0}\\{b+3a=0}\end{array}\right.$，
∴a=-3，b=9．
（2）当运动的时间为t秒时，P所对应的数为-3+3t，Q所对应的数为9-2t，
∴PQ=|-3+3t-（9-2t）|=|5t-12|，PA=3t，PB=|-3+3t-9|=|3t-12|．
∵|PA|+|PB|=2|PQ|，
∴3t+|3t-12|=2|5t-12|，
解得：t=1.2或t=3.6或t=3（舍去）．
∴若|PA|+|PB|=2|PQ|，运动时间t为1.2秒或3.6秒．
（3）假设存在，当运动时间为t秒时，点A对应的数为2t-3，点C对应的数为2t-8，
∵点B对应的是为9，点T对应的数为10，点D对应的数为11，
∴|TA|=|2t-3-10|=|2t-13|，|TC|=|2t-8-10|=|2t-18|，|TB|=|10-9|=1，|TD|=|10-11|=1，
∴|TA|+|TC|+|TB|+|TD|=|2t-13|+|2t-18|+2．
当2t-13＜0，即t＜6.5时，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|=13-2t+18-2t+2=33-4t＞33-26=7；
当0≤2t-13，2t-18≤0，即6.5≤t≤9时，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|=2t-13+18-2t+2=7；
当2t-18＞0，即t＞9时，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|=2t-13+2t-18+2=4t-29＞36-29=7．
∴假设成立，
∴当6.5≤t≤9时，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|取最小值7．

点评 本题考查了一元一次方程的应用、数轴、解二元一次方程组以及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）根据绝对值的非负性找出关于a、b的二元一次方程组；（2）利用两点间的距离公式结合|PA|+|PB|=2|PQ|列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程；（3）分t＜6.5、6.5≤t≤9和t＞9三种情况考虑．