Question

19．如图，已知AB=AE=$\sqrt{3}$，BC=DE=1，∠B=∠E=90°，∠A=120°，五边形ABCDE的面积是（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 8
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接AC、AD，作AM⊥CD于M，由SSS证明△ABC′≌△AED，得出AC=AD，∠BAC=∠EAD，由勾股定理得出AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2=2BC，求出∠EAD=∠BAC=30°，∠CAD=60°，证出△ACD是等边三角形，得出CD=AC=2，AM=$\sqrt{3}$，五边形ABCDE的面积=△ABC的面积+△AED的面积+△ACD的面积，即可得出结果．

解答 解：连接AC、AD，作AM⊥CD于M，如图所示：
在△ABC和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}&{\;}\\{∠B=∠E}&{\;}\\{BC=ED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，∠BAC=∠EAD，
∵AB=$\sqrt{3}$，BC=1，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2=2BC，
∴∠EAD=∠BAC=30°，
∵∠BAE=120°，
∴∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD=AC=2，CM=1，
∴AM=$\sqrt{3}$，
∴五边形ABCDE的面积=△ABC的面积+△AED的面积+△ACD的面积=2×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；
故选：B．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．