Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，四边形EGFH是正方形，当点E在AB上，点F在CD上，点A，C，G，H在同一条直线上时，CH的长是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 先根据正方形的性质和矩形的性质，判定△CFO≌△AOE，并求得AO的长，再判定△AOE∽△ABC，求得OECH的长．

解答 解：连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是正方形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠OAB}\\{∠FOC=∠AOE}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO=CO，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CO=AO=$\sqrt{5}$，
∵∠CAB=∠EAO，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，即 $\frac{OE}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$=OH，
∴CH=CO-HO=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质．本题若不运用相似三角形，则可以过点F作AB的垂线，构造直角三角形，并运用勾股定理进行计算求解．