Question

17．已知：关于x的方程：x²-2（k+1）x+k²+4=0
（1）当k取何值时，方程有两个实数根？
（2）若△ABC是等腰三角形，BC=4，AB、AC的长是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个实数根，可得出△=8k-12≥0，解之即可得出k的取值范围；
（2）分BC为腰和BC为底两种情况考虑，当BC为腰时，将x=4代入原方程求出k值，将k值代入原方程求出方程的另一个根，利用三角形的三边关系确定该三角形是否存在，再根据三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当BC为底时，由根的判别式△=8k-12=0可求出k值，将其代入原方程中求出方程的解，利用三角形的三边关系确定该三角形是否存在，再根据三角形的周长公式可求出△ABC的周长．综上即可得出结论．

解答 解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△=[-2（k+1）]²-4（k²+4）=8k-12≥0，
∴k$≥\frac{3}{2}$；
（2）①当BC为腰时，将x=4代入原方程得：16-8（k+1）+k²+4=0，
解得：k=2或k=6．
当k=2时，原方程为x²-6x+8=（x-2）（x-4）=0，
解得：x₁=2，x₂=4．
∵2、4、4能组成三角形，
∴C_△ABC=2+4+4=10；
当k=6时，原方程为x²-14x+40=（x-4）（x-10）=0，
解得：x₁=4，x₂=10．
∵4、4、10不能组成三角形，
∴k=6舍去；
②当BC为底时，方程x²-2（k+1）x+k²+4=0有两个相等的实数根，
∴△=[-2（k+1）]²-4（k²+4）=8k-12=0，
解得：k=$\frac{3}{2}$．
将k=$\frac{3}{2}$代入原方程得：x²-5x+$\frac{25}{4}$=（x-$\frac{5}{2}$）²=0，
解得：x₁=x₂=$\frac{5}{2}$．
∵$\frac{5}{2}$、$\frac{5}{2}$、4能组成三角形，
∴C_△ABC=$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{2}$+4=9．
综上所述：△ABC的周长为9或10．

点评 本题考查了根的判别式，三角形三边关系、等腰三角形的性质以及三角形的周长，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）分BC为腰和BC为底两种情况考虑．