Question

4．平面直角坐标系中，P（2，2），以P为直角顶点作∠APB=90°，过P作PM⊥y轴．
（1）如图①，试判新AM、OB、PM的关系；
（2）如图②，试判断AM、OB、PM的关系；
（3）如阳③，若y轴恰好平分∠PAB，PB与y轴交于Q点．求证：$\frac{PM+MQ}{BO}$为定值．

Answer 1

分析 （1）过P作PH⊥x轴，交于H，则四边形OHPM为矩形，得出OH=PM，∠HPM=∠APB=90°，由ASA证明△BHP≌△AMP，得出AM=BH=OB+OH=OB+PM即可；
（2）过P作PH⊥x轴，交于H，则四边形OHPM为矩形，得出OH=PM，∠HPM=∠APB=90°，由ASA证明△BHP≌△AMP，得出AM=BH，即可得出结论；
（3）延长AP交x轴于F，过P作PH⊥x轴，交于H，证出BO=OF，∠FPH=∠QPM，由ASA证明△PMQ≌△PHF，得出MQ=HF，即可得出结论．

解答 （1）解：过P作PH⊥x轴，交于H，如图1所示：
∵PM⊥y轴，
∴四边形OHPM为矩形，
∴OH=PM，∠HPM=∠APB=90°，
∴∠BPH=∠MPA，
∵P（2，2），
∴MP=PH=2，
在△BHP和△AMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPH=∠MPA}\\{PH=MP}\\{∠BHP=∠AMP=90°}\end{array}\right.$，
∴△BHP≌△AMP（ASA），
∴AM=BH=OB+OH=OB+PM；
（2）解：过P作PH⊥x轴，交于H，如图2所示：
∵PM⊥y轴，
∴四边形OHPM为矩形，
∴OH=PM，∠HPM=∠APB=90°，
∴∠BPH=∠MPA，
∵P（2，2），
∴MP=PH=2，
在△BHP和△AMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPH=∠MPA}\\{PH=MP}\\{∠BHP=∠AMP=90°}\end{array}\right.$，
∴△BHP≌△AMP（ASA），
∴AM=BH，
∴PM=OB+BH=OB+AM；
（3）证明：延长AP交x轴于F，过P作PH⊥x轴，交于H，如图3所示：
∵y轴平分∠PAB，AO⊥BF，
∴BO=OF，
∵P（2，2），
∴MP=PH=2，
∵∠FPB=∠APB=90°，
∴∠FPH=∠QPM，
在△PMQ和△PHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPH=∠QPM}\\{PH=PM}\\{∠PHF=∠PMQ=90°}\end{array}\right.$，
∴△PMQ≌△PHF（ASA），
∴MQ=HF，
∴$\frac{PM+MQ}{OB}$=$\frac{OH+HF}{OB}$=$\frac{OF}{OB}$=1，
∴$\frac{PM+MQ}{BO}$为定值．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结论．